掛け算的なもので、順番が違うと、結果が違うというのは、どういう意味か？（１） 2008/02/25 06:00

学生時代から、私を苦しめてきた、量子力学などに使われる、専門的には、フォンノイマン環などと言われたり、もっと一般的にはエルミート供役などと言われている、数学体系がある。

これは、なかなか理解できなくて、３７歳になって、図書館で見た、古めかしいブルーバックスの本（すでに、廃刊になってるようだ）を読んでいたら、突然、わかったきになって、なんだか、それに、だんだんと、とりつかれてきた。

普通、掛け算で

Ａ×Ｂ　と　Ｂ×Ａ　は、同じはずだ。

しかし、量子力学で出てくる数学だと、虚数などが絡んでさらに微分なども入った、ＡとかＢを、掛け算すると

ＡＢ　と　ＢＡ　は、同じでないばかりでなく、

ＡＢ－ＢＡ＝ih（虚数かけるｈプランク係数）

というような、何とも、不気味な、詐欺まがいにでさ見える方程式が出てくる。

しかし、これを理解しない限り、１９２０年以降の物理学は、理解不能になる。大学３年のときから、私を、徹底的に打ちのめし続けている大問題だ。

しかし、戦後の物理学で、最大の論理体系である、ヤンミルズ場という理論を、日本で独自に考え出した内山教授という人が書いたらしい本に、面白い例え話が書いてあって、目下、ここ数日、私の頭の中は、そのことでいっぱいである。

そこには、こんなことが書かれていた。

Ａという行為、を先にやって、それから、Ｂという行為を後にする場合

と

Ｂという行為を、先にやってから、Ａという行為をする場合

必ずしも、結果が同じでない場合があるというのを、銀行の利息だったか、借金の利子だったか、そういうような、実例で、説明されていて、いまいち納得できなかったので、思いだせないのだが、

少なくともわかったのは、同じ様に見える、ＡＢ　と　ＢＡ　でも、掛け算のように見えても、順番が違うと、結果が異なる場合があるということで、

どうも、これが、量子力学的数学のエッセンスらしいと、私なりに理解した。

実際の計算では、Ａが微分だったりして、Ｂは、ただの関数、だから、当然、ＡＢと、ＢＡは、違うのだが、私が知りたいのは、そういう計算式ではなくて、もっと、哲学的なところだ。

先にＡ処理をやってから、Ｂ処理をやる場合と、
先にＢ処理をやったから、Ａ処理をやる場合で、

世の中には確かに、そういう順番が違うと、結果として出てくるものが、全然違う場合がありえる。

しかし、その結果の違いは、一定であるというところに、量子力学の、妙味が隠されているようなのだ。

分かっている人からすれば、このマヌケな私の疑問が、さぞかし馬鹿らしいに違いない。でも、私にとっては、一生、生涯をかけても、知りたい。それくらい大事なことだ。

それにしても、何度考えても、これ以上、わからない。ただ、わかっているのは、何回か前の日記に、つい、勢いで、書いてしまった、フォンノイマン先生の偉業を、片言の知識で、どうでもいいことであると述べた自分が、なんだか、わからないくせに、わかったふりをしている、実際にそうなのだが、この場合は、やっぱり、ちゃんとやらないといけないと思いなおして、こんなことを書いているが、誰も読んでないだろう。まあいい。

ＡとかＢは、普通は変化率として、あらわれる場合が多い。だとすると、

Ａ変化した後に、Ｂ変化した場合と、
Ｂ変化した後に、Ａ変化した場合、

結果が異なることは、、、はたしてあるのか？少なくとも量子力学が正しいのならば、確実にあるということになる。実際、それが、反証されたことなど、ありえそうにないし、私のような落ちこぼれだけが、疑問を持つくらいだろう。

ただ、気になるのは、ＡＢ－ＢＡ＝０　ではなく、　ＡＢ－ＢＡ＝ih　という風に、常に、違いが一定であるという点だ。それが、せめてもの救いだ。

どうやら、図書館に、しばらく、通わないとわかりそうにない。しかし、以前の日記に書いたことで、
こういう系統の話は、総論のような形で、フォンノイマン環、なんていう名前がついているのだが、

それは、
ハイゼンブルグ形式　 ｛１，２，３，４，５，６｝　のようなもの＝行列式と、
シュレディンガー形式  ｛１～６｝のようなもの、波の方程式（波のイメージとして、１～６、という風に、「～」を使ってみた。波のように、連続的に変化するという意味だ。行列の場合と違って、１，２，３ではなく、1.5とか、2.3とか、間の数字もＯＫということを言いたかったのだ。

そこで、多くの量子力学基礎編（ですらわからない私は、、、）では、上記の２形式は、数学的に同じである、という説明が必ず出てきて、それを、証明する数式がいろいろ出てくるのだが、今までの人生で、何十回、理解しようとしたか、わからないが、一度もわかったきがしたことはない。

もっとも、テストに出てくるような、計算方法は、覚えればできてしまうので、落第することはなかったし、点数も悪くなかった、かといって、最高でもなかった。

あの辺で、それまで、理科系学生として、挫折を知らなかった私は人生で初めて、転んだ。そして、おかしくなっていった。

だから、私は、これを、わからないわけにはいかないのである。他の分野で、どんなに成功しても、これだけは、わかってから、死にたい？というような、長期的人生プランもあるのだｗ。

まあ、そういうことで、これは、見方によっては、面白いかもしれないと考え、勝手にシリーズにすることにした。

化学反応なんかだと、Ａ処理をした後に、Ｂ処理をしたケースと、その逆は、明らかに違う物質になることが、確実にありそうに思える。

なので、この場合、一見すると、普通の掛け算に見える、ＡＢ　とか　ＢＡは、実は、順番が大事であるということで、これは、今までの数学とは違うということで、これに、当時に数学者が、ヒルベルト空間であるとか、有限である場合は、バナッハ空間であるとか、量子力学に限っていう場合は、フォンノイマン環であるとか、色々と名前をつけたというわけだ。

その辺の、表面的な定義みたいのは、とりあえず、去年の今頃、わけもわからずに、予習したが、そのあと、わからなくなって、やめてしまった。あとは、中国株バブルなどに夢中になってしまって、やめてしまった。

なんだか、説明していくうちに、順番が違うと、結果が違うというのは、至極、当り前のことに思えてきた。

ただ、ＡＢ－ＢＡ＝ih
　
などと、あたかも、普通の算数みたいな書き方になっているので、違和感を感じるだけかもしれない。

ちなみに、前述、ハイゼンブルグ形式では、｛１，２，３，４，５，６｝のように、行列を書くが、

高度な量子力学は行列で書かれている場合が多いようだ。行列の掛け算の場合、順番が違うと、明らかに結果が違う場合が、あったと思った。というか、そのはずである。

なので、最初から行列で説明してくれればいいものの、初期レベルの量子力学では、あえて、親切にしようなどと思ってか、波の方程式などを使うことがおおい。

行列というのは、実に奥深いもので、掛け算だと、掛け合わされる数字の種類の数が、一致してないと、計算不能だったり、掛け算の順番が違うと、結果が違ったりもする。

また、対角（縦横がある行列で、ななめ部分のところ）以外は、全部０だったりすると、掛け算しても、一見すると、変形したように見えるけども、総合的な、値のようなもの、いわば、行列全体は、どんだけ？なのか？というような、特殊計算をすると、そういう、対角以外０な、行列は、全体どんだけ？に関しては、変化が生じない、などという、不思議な性質もある。

ちなみに、量子力学では、大抵の場合、掛け算するものは、そのような、掛け算しても、総合的どんだけ？が、不変でなければいけない、というようなルールがある、と、、思う。

この場合は、右側から掛け算しても、左側からでも、順番が違ってもいいようで、よくないのだが、

行列の性格上、左右上下を、反転させて、右からの場合と、左からの場合は、左右上下を反転させて、さらに、結果として、１となるように、i（虚数）の２乗、の片割れには、-iと、マイナスをつける。

すると、-i×i=１　となり、マイナスにならない。なんでマイナスにしないかというと、この１は、確率を意味するからで、１は、１００％を意味し、まあ、この辺は、相当、人工的に思え、こじつけ、屁理屈に思えてしょうがなかったが、今でもそうだ。

しかし、こうやって説明していると、どうも、そうしないと、論理的に破綻してしまうというか、上記の例のように、確率がマイナスになってしまうなどの矛盾が出てくるから、しょうがないのかな、とも、なんだか、騙されたようだが、どうも、そういう、フォーマリズム（形式重視）なんだろうと思える。

これは、製品の見た目上の保障みたいなものであって、本質ではなさそうだ。そう考えると、急に楽になる。

ちなみに、私は、人生の大半を、こんなことを空想しながら生きているので、かなり、アホに見えることが多いようで、社会人として、けっこう、苦労したような気がする。

ま。。。結局、今日も、わからなかった。少しだけ、前進したかもしれない。もし億万長者になったら、世界一の学者に、ゼロから教えてもらおうと、真剣に考えることがある。ホントだ。誰か、教えてくれ。


追記）面白いサイトを見つけました。やっぱり、こうでないといけないな。ビジュアルに説明。わかりやすい。作用素ですか。

http://www.ryoushi-rikigaku.com/sayouso.html