外積について２（違う向き同志の掛け算だけが残る） 2008/11/27 00:45

いつも、お世話になっている、物理のかぎしっぽというサイトで、勉強していると、少しわかってきた。



外積だと、自動的に、向きが同じような部分は、ゼロになり、向きが違う部分で、回転しているものは、自然と、向きが反転するという意味で、マイナスになる、というようなことだ。



となると、この外積は、内積（向きが同じものだけが残る）と逆であり、向きが違うものだけが残るということになる。



外積というのは、おそらく、今の世の中風にいえば、アメリカ以外の部分だけ計算する、とでもいったような計算方法だ。これに対して、内積というのは、アメリカと同じ部分の場合だけを計算するというような雰囲気だ。



アメリカ類の掛け算では、同じものはゼロにならないが、非アメリカ類の掛け算では、同じものは、掛け算するとゼロになる。また、違うものを掛け算すると、掛け算の順番によって、マイナス（方向が反転する）になるという変な特徴がある。



不思議なことに、この方法論で、掛け算をやると、今までの方法では、導きだすのに、何１０行もかかったかもしれない、方程式が、なんと、１行くらいで、出てきてしまうのである。



これは、思うに、もともと、最初の数学の定義が、同じ向きのものを掛け算するとプラスであると仮定したのが、おそらく、そもそもの間違いというか、非効率的な定義だったといえ、



この外積の計算のように、もともと、同じ向きのものは、最終的な回転などの重要な要素には影響しないので、同じ向きのものは、ゼロと定義しているので、あっという間に、１行の計算で、回転の方程式が導かれる。



これほど、魔法じみて見えるというのは、私は今までの方法論に完全に染まっていたということだろう。



世界では、これと似たような意味で、石油アメリカドルの世界から、ユーロ金の世界への復古運動のようなことが起きているといえそうだ。そもそもの定義が違っていたという意味では、なんとなく似ている。



そう考えると、なんとなく、概念的に理解可能だ。いわゆる、単一主義というか、統一主義のような方程式では、同じ方向を向いていることが、大事になり、それが（同じ方向を向いている国がどれだけあるか））計算される。



しかし、多極的な世界では、同じ方向を向いている場合は、ゼロと計算され、違う方向を向いている場合にのみ、有限な値が算出されることになり、個性と個性のぶつかり合いは、大いに歓迎されることとなり、外積の計算では、

Ａ×Ｂ＝－Ｂ×Ａ

という風に、ＡもＢも、矢印なので、数ではないので、マイナスというのは、矢印が反対になると考えればいいが、多極的世界では、なんとなく、そうでないといけない気がする。



このようにすると、回転（同じ向きではないものを表していることになる）の度合が、たった１行で方程式が出てくる。信じられないほど便利である。





では、回転ではない、総合的な流量のようなものは、内積の得意分野であり、それこそ、定義そのものでもあるのだが、なんと、これも、三次元の世界で、２つのペアを３通り作って＝ｘｙ、ｙｚ、ｚｘ　それに、ｘ、ｙ、ｚを掛け算すると、なんと、内積らしきものが出てくるらしい。







まあ、これを、一般的な知識人に理解しろという方が異常だといえそうだ。しかし、私としては、これを理解しなければ、どうしても、理解しなければいけないと、何かがそういっているので、理解したい。



少しだけ、理解したつもりになった気分になってるが、まだまだ、先は長そうだ。これが、どうやって、最先端の物理学とつながるのか？グラスマン多様体？なるものがあるらしく、それが、究極の、最終的理論らしく、それが、この計算方法と関係あるらしい。



だとすれば、ここから入らないといけないということになる。これは、ある種のゼロからやり直した結果、逆に便利になったというような世界であり、面白いと思う。