ウェッジ積（外積、積＝掛け算）という概念について 2008/03/26 11:11

世の中には必ず、ひねくれものというか、変わり者がいて、おおよそ、役に立ちそうにないことを、ひとりでやっている人が結構いたりします。

ドイツの数学者のグラスマンという人もそうだったらしい。どうせ、僕レベルでは、意味不明なんだろうと思っていたのだが、意外と面白いことがわかってきた。

簡潔にいいます。この人は、普通は

Ａ×Ａ＝何かの数字
ですが、
Ａ×Ａ＝０

という数学、ほんとにそうなんですが、そういう、変な数学を考えたのです。当然？ながら、誰にも相手にされず、１００年くらい、放っておかれたんだと思いました。

Ａ×Ａ＝０　と書きましたが、　Ｂ×Ｂ＝０　でもいいのです。

要するに、このグラスマンさんの変な数学では、同じものを掛け算すると「０」になる（まじっすか！）、という風になってるんです。

これが、後の世の中で、使い道がわかった、というか、これじゃないといけない、というか、この数学にすれば、計算が恐ろしいほど楽になる、というのが、出てきたというのですから、世の中、不思議なものだとしかいいようがありません。

結局、自分なりに勉強したんですが、一向に何のことやら、さっぱりわかりません。ただ、ひとつだけ、そうだな、、全体を理解した場合を１００％とすると、０．５％くらい、理解したつもりになったので、書いている。

なんと、この、変な数学は、後にドラームコホモロジーなどと言われる、幾何学とか曲面などの、理論、最終的には、一般相対性理論と、量子力学のかけ橋になる？らしい？というのだから、これまた、びっくりです。

しかし、さっぱり、わからないという私にもびっくりです。！

しかし、そういう、ドラームとかいうのを論文とかを読んでいると、９０％以上は理解不能だが、５％－１０％くらいは、理解できる表現が出てくる。

そこで、あ！そういうことか！と、思うところがあって、哲学的にも面白いと思ったので書いている。

具体例で申し訳ないが、量子力学とかでは、０から無限大まで計算するような場合が多い。そこまで精密に計算するわりには、出てくる答えは、ほとんどの部分が、０になり、０にならなかった一部分だけが、答えだったりする。

要するに、０になる大部分は、いちおう、考慮に入れるけども、どっちみち０になることがわかっていながら、とりあえず、全部の領域（０から無限大まで）で、計算した、と言えば、説得力があります。

全部の領域で計算して、ほとんどが０で、残ったのが、これです、といえば、きっと、それが答えなんだろうと、納得しやすいというか、説得力があります。

しかし、問題は、０から無限大まで、ほとんど必要のない、膨大な、結局は０になるのを、いちいち、計算しないといけないということで、私などは、それに疑問を持たず、それどころか、きれいさっぱりになって、いい！

などと思ってましたが、ここで、量子力学の場合、ちょっと語弊があるかもしれないが、０になる場合というのは、簡単にいうと、同じでない場合（ずれている）であり、０にならないのは、同じ場合（ずれてない）場合なのだが、おそらく、そういう、どうせ、０になるものを、最初から、グラスマンさん流でやると、消えてしまうので、楽になる、のかと思ったんだが、今調べてみたら、どうも、勘違いだったようだ。

がく！

とりあえず、グラスマンさん流だと、Ａ×Ａ＝０　であり、また、Ａ×Ｂ＝－Ｂ×Ａ　？？だそうだ。ますます、わけがわからない。道理で、１００年もの間、誰にも相手にされなかったわけだ。このやろう。（笑）、わけわからんもん作りおって！

しかし、悲しいかな、天才は、天才。これが、役に立つらしい、それどころか、これじゃないと、ダメなんだそうだ。最近の、本当に最近の、超最先端理論は、全て、これが、常識になっているようだ。

しかし、どう考えても、Ａ×Ａ＝０　なわけがないのだが、グラスマンさん流には、これは、ＡΛＡ＝０ように書く。
Λ記号が、掛け算の意味だ。もっとも、普通の掛け算だったら、０になるわけないから、グラスマン流掛け算が、Λ、なわけだ。

ただ、なんとなく、イメージが沸いた。つまり、物理の計算では、上の場合は、勘違いだったが、どっちみちゼロになるのに、いちいち計算してる場合が多い。しかし、それは、最初の数学の定義が、非効率的？だったので、そうなってるだけであって、最初の法則を変更してしまえば、今まで、途方もない計算を、しなければ、なんというか、わかってるんだけど、ちゃんと、最後までやってない論文、みたいになっていたのだが、

このグラスマンさん流でやると、ＡΛＡ＝０　と、今まで、０から無限大まで全部計算してから、ようやく、

０です！できました！やっぱり０でした！まあ、最初からわかってるんですけどね。

というような、数々の感動的な無意味さがなくなったんだろうと想像している。

だとすると、こんなに便利なことはない。しかし、こういう変な数学というのは、１００年たって、ようやく、利用法を見つかるというのは、不思議なものだ。

ちなみに、この外積という、Ａ×Ａ＝０　Ａ×Ｂ＝－Ｂ×Ａ　という、変な数学は、例の虚数の世界の計算と、

やたらと馬が合う、ことがわかっている。ひじょーーーに、難しい例だが、７次元掛け算というのがある。

もはや、宇宙人の世界と考えればいいかもしれない。７次元掛け算を虚数でやる？というようなことをやっていると、なんと！グラスマンさん流の数学と、非常に似たような、計算結果が出る場合があるそうだ。もはや、何を言っているのか、何語を話しているのかさえ、危うくなってきたが、

最近、何か、自分がやってることが、意味があるのか、わけがわからなくなってきたので、こんなことを書いて、まさか、自分が、グラスマン大先生であるわけがないのだが、そういう、妄想みたいな、まず、ありえないけども、

そういう場合もあるんだ。と、そういう風に思えると、なんとなく救われる思いがするのだ。なんだか、悲しいな。。。えへへ。。